构造差函数 强化恒成立

　　函数中常会碰到两个函数在某个区间（或整个定义域）内一个函数值恒大于或小于另一个函数值问题，即对于区间上的函数，，对于任意，恒成立．现结合具体例题为同学们介绍构造差函数的方法．

　　例1　设函数，在区间上可导，且，则当时，有（　　）．

　　Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

　　解析：因为函数，在区间上可导，则函数在区间上可导，且由于，则在区间上恒成立，即在上函数是增函数，对于任意有（同时），故，所以，选（C）．

　　同理可得．

　　点评：本题并没有过多地考虑，在某具体点处的函数值的大小问题，而是从构造差函数入手，研究新函数的单调性，利用差函数的导数，简捷得到相应的结论．

　　例2　已知函数．求证：在区间上，函数的图象在函数图象的下方．

解析：构造函数，即，则．

　　因为，所以，故函数在区间上是减函数，注意到，所以在区间上恒成立（恒成立），故函数的图象总在函数图象的下方．

　　请用上述思想，试解下列三道习题：

　　1．设是锐角三角形的两个内角，求证．

　　提示：可证，由的单调性（求导数），只需证，即即可，这由题设三角形为锐角三角形易知．

　　2．当时，证明：．

　　提示：利用导数，，则，，，是增函数；同理，构造函数，，由得是增函数；而时， ，由单调性知，时，．

　　3．已知函数，，若对任意的都有，求实数的取值范围．

　　提示：构造函数，即，对任意的都有，则在上恒成立，只要在上恒成立，．

　　由，解得或，

　　若显然，．

　　若，，即，解得，则．

　　特别地，当时，也满足题意．

　　综上，实数的取值范围是．